1. 고유값 분해
- 고유값 분해는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해
행렬을 분해 하는 것을 말함.
- Eigen decomposition 혹은 Eigen-Value Decomposition 으로 불리우고 있다.
- 고유값 분해는 PCA (Principal component analysis, 주성분 분석), SVD (Singular Value Decomposition, 특이값 분해)
들과 아주 밀접한 관계를 가지고 있다.
(공부 해 놓으면 쓸모가 많다는 의미로 보면 된다!)
2. 고유값 분해 표현
선형 독립을 만족하는 정방 행렬 A는 고유값 분해에 의해 다음과 같이 표현이 가능하다.
위의 수식에서 P는 고유 벡터를 열로 가지는 행렬, Δ는 고유값을 대각행렬로 가지는 대각 행렬이다.
여기서 명심할 점은 선형 & 독립 정방행렬은 고유값 분해가 가능하다는 것으로,
모든 정방 행렬이 고유값 분해가 가능한 것은 아니다를 것이다.
물론! 당연히 정방행렬이 아니라면 고유값 분해가 불가능하다.
이때 사용되는 것이 SVD 이며, 이것은 나중을 위해 남겨두도록 하겠다.
3. 증명
선형 독립을 만족하는 행렬 A의 고유값과 고유 벡터를 λ 와 v로 표현할 수 있다.
그러면 아래와 같이 고유값과 고유 벡터의 정의를 이용하여 정리가 가능하다.
[기본개념] 고윳값과 고유벡터 (EigenValue, EigenVector, 예제 포함)
1. 정의 임의의 n×n 행렬 A 에 대하여, x ≠ 0 인 해를 갖게 하는 λ 를 행렬 A의 고유값 (Eigenvalue)이라 부른다. 그리고 이에 대응하는 벡터 x를 고유 벡터 (eigen vector) 라고 부한다. 2. 예제를 통한 고유
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로 전개를 하면 아래와 같이 표현 된다.
이렇게 정리된 최종의 형태는
앞서 정의한 고유값 정의와 일치하게 됨을 알 수 있다.
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