[기본개념] 고윳값과 고유벡터 (EigenValue, EigenVector, 예제 포함)

1. 정의

 

임의의 n×n 행렬 A 에 대하여, x  ≠ 0 인 해를 갖게 하는 λ 를 행렬 A의 고유값 (Eigenvalue)이라 부른다.

 

그리고 이에 대응하는 벡터 x를 고유 벡터 (eigen vector) 라고 부한다.

 

 

2. 예제를 통한 고유값과 고유 벡터를 찾는 방법

 

행렬 A를 이용하여 고유값과 고유벡터를 찾는 과정을 설명하겠다.

 

우선 고유값과 고유 벡터의 정의를 이용하여 아래와 같이 정리 할 수 있다.

 

이를 다시 풀어 쓰면 2개의 수식으로 정리가 가능하다.

여기서 우변의 항들을 좌변으로 옮겨서 다시 정리하면 안래와 같이 정리가 가능하다.

위의 두 수식을 행렬로 표기하면

 

형태로 정리가 가능하다.

 

이 형태는 괄호안에 있는 식으로 부터 얻는 행렬은 역행렬을 가지지 않아야만 아무런 λ와 x=0이라는 ‘trivial solution’을

 

얻게되는 결과를 피할 수 있다. (Cramer 정리 참조) 

 

이에 대한 필요 충분 조건은 바로 

라고 할 수 있다.

 

즉!

여기서 D는 특성 행렬식이라고 하고 D=0을  A의 특성 방정식이라 한다.

 

그리고 위의 식에서 구해진 λ =-1, -6 은 A의 고유값 들이다.

 

2개의 고유값에 대해 대응하는 고유벡터들은 아래와 같다.

 

우선 고유값 λ = -1 을 위에서 구한 수식(아래에 복사하여 정리하였음)에  대입하면 

↓

이 값을 통해 고유 벡터 x 는 

 

로 구할 수 있다.

 

마찬가지로 λ = -6를 대입하여

 

 

라는 대응되는 고유 벡터를 구하면 된다.